下图就展现了Pál提出的，可以掩盖各种外形(直径为1)的六边形。

上图中间的外形是一个勒洛三角形(Reuleaux triangle)，这是一个与我们上一小节提到的万有掩盖亲密相关的定宽曲线。

勒洛三角形是一个弧三角形，经过三个相反的圆可以取得。

这个六边形的面积是√3/2≈0.866，比我们上小节所失掉的面积还要小。

但Pál也表示，并不需求整个六边形。

他经过巧妙的旋转，去掉了一些有关部分。

首先，将两个Pál六边形堆叠在一同。

其中一个六边形绕中心旋转30度。

出现了6个白色小三角形。

每个白色小三角形，都处在未旋转六边形的外部，以及旋转六边形的外部。

由于每个六边形平行对边的距离是1个单位，所以对着的两个白色小三角形中的点距离一定大于1个单位。

也就是说，一组直径为1的外形不能够同时出如今两个相对的白色小三角形中。

按照上一小节的思绪，能够会觉得应该能从6个小三角形去掉3个小三角形，但实践上是不行的。

由于一个六边形旋转60度，或许对称翻转一下，都不会发作外形的改动。

所以从相对的一对中选择一个白色三角形只要两种不同的办法：

3个三角形可以是延续的，也可以是交替的。

但是，我们可以去掉2个这样的小三角形。Pál就是这么做的。

他从他的六边形上切下两个三角形，失掉一个保证能掩盖一切直径为1的区域的新外形。

这种新的万有掩盖的面积是2-2/√3≈0.8453，比六边形面积略小一些。
但是Pál六边形并不是最优解。

在此基础上，数学家和数学快乐喜欢者们继续修修剪剪。

在1992年，数学家Roland Sprague和HC Hansen在Pál六边形上减去了三个小细条。

使面积增加为0.844137708416。

Sprague增加了0.001单位面积，Hansen增加了0.00000000004单位面积。

退休顺序员用高中几何，两次逼近极限

然后二十年过去了，这个成绩毫无停顿。

直到2014年，一位叫做Philip Gibbs的退休软件工程师尝试处置这个数学成绩。

他应用本人的编程背景优势，尝试用电脑解来处置。

△Philip Gibbs

Gibbs首先对200个随机生成的直径为1的外形停止了计算机模拟。

这些模拟结果表明，他或许可以修剪一个最小万有掩盖终间顶部角落的一些区域。

随后，他证明了新的掩盖对一切能够的直径为1的外形都适用。

2015年2月，Gibbs和两位共同研讨者将论文宣布在了网上。

△论文地址：https://arxiv.org/abs/1502.01251

他们把最小万有掩盖面从0.8441377增加到0.8441153单位面积。

他的策略是将一切直径为1的外形移到他早些年发现的万有掩盖的某一角。

然后把对角部分剩下的任何区域都去掉；但是从节省面积测量的角度来说，却是十分准确的。

虽然此次减小的单位面积只要0.0000224，但这却简直是汉森在1992年增加的面积的100万倍！

但是，这并未阻止他进一步的“裁剪”。

2018年10月，Gibbs独自又发布了一篇文章，再次将最小万有掩盖面积增加。

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