试想一下，假设你的裤子破了好几个洞，每个洞外形各异，但是宽度都不超过1厘米。
该如何设计一个通用的补丁，可以把一切的洞都补上呢？
这个成绩在数学上叫做：万有掩盖成绩（universal covering problem)。
曾经让数学家思索了一百年。
乍一听上去，这像是一个很复杂的成绩。
但是稍微想一想，似乎又不那么复杂。
比如一个边长为1的等腰三角形，和一个直径为1 的圆形，两者的直径都为 1。
但是，这个三角形就不能被圆形掩盖。
而最近，一个退休顺序员，用高中办法取得了最新停顿。
为什么这么难？这个难题的的提出者，法国著名数学家：勒贝格(Henri Léon Lebesgue)。
△Henri Léon Lebesgue
他提出了勒贝格积分，拓宽了积分学的研讨范围。
在1914时，他给好冤家Julius Pál（也是数学家）写信时提了一个成绩：
在一个平面上，找一个最小区域，让它可以掩盖直径不超过1个单位的面积？
直径不超过1个单位的任不测形，就是一个封锁曲线的边缘上，最远两点的距离不超过1个单位。
这个成绩最难的部分是：
无法穷举一切直径为1的外形究竟长什么样子。
直径为1的外形千千万，究竟用哪种万能补丁才能全部掩盖它们呢？
万有掩盖“通用”办法但是这个成绩并不难上手，只需你有高中数学基础，就可以试一下。
接上去，让我们一同看看数学家们目前处置这个成绩的办法。
从直径为1的需求掩盖的区域R入手。
虽然不知道R长什么样子，可以确定的一点是：它相对不会超过1个单位的宽度。
那么就先假定它有2个点——A和B，距离为1个单位。
如今，我们假定除了A和B之外，在R区域内还存在一个点C。
那么C能够在哪里呢？
它不能够大于A的1个单位，这意味着它必须在以A为圆心且半径为1的圆中。
但另外一个成绩是，C和B的距离也不能超过1个单位。
所以C也必须在以B为圆心且半径为1的圆中。
所以，C的位置就确定在了两个圆形的交集位置。
到A和B的距离不能超过1，这一条件不只仅适用于点C，还适用于区域R中的每个点。
所以R中的每一个点都必须位于这两个圆的交集区域中。
换句话说，这个区域可以掩盖直径为1的一切能够的R集，是一个万有掩盖区域。
但是这个区域不是最小面积，需求对它停止一下修剪。
留意，圆的相交点构成两个等边三角形，顶点辨别是是A、B，以及距离AB中点垂直距离为√3/2的上下两个点。
由于√3/2大于1/2，我们可以画两条平行线，与AB平行，距离AB 1/2个单位。
如今，思索下图中白色的区域。
由于两个平行线之间的距离为1个单位，所以直径为1的集合不能够同时出如今两个白色区域。就可以去掉一个。
这样万有掩盖面积从原来的(2π/3)-(√3/2)≈1.228，增加到(π/2)-1/2≈1.071
从一个基本的万有掩盖末尾，可以经过去掉一个有关紧要的部分，来增加它的面积。
这就是数学家们失掉最小万有掩盖的办法。
优化办法：Pál六边形经过更先进的技术，我们还能找到一些其他的复杂外形。
Pál应用定宽曲线的特性表明：
即使直径为1的一组曲线，能够会从直径1的圆中“伸”出来，它也总是可以经过移动或旋转，以顺应围成这个圆的六边形。
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